MathLabs

第1题

设函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R 满足：对任意实数 x,yx,y，有 f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)；当 x∈[0,1)x\in[0,1) 时，f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)；且 −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1。求所有这样的函数。
第 4/4 步：利用平移延拓并验证
上一步下一步
f(x)=0 (0≤x<1),f(x)=⌊x⌋ (x∈R)f(x)=0\ (0\le x<1),\qquad f(x)=\lfloor x\rfloor\ (x\in\mathbb R)
详细分析

当 0<x<10<x<1 时，f(x)f(x) 与 f(1−x)f(1-x) 都不大于零，而它们的和不小于零，因此二者都为零；另外 f(0)=0f(0)=0。反复使用 f(x+1)=f(x)+1f(x+1)=f(x)+1 得到 f(x)=⌊x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor。反之，由 0≤{x}+{y}<20\le\{x\}+\{y\}<2 可得 ⌊x⌋+⌊y⌋≤⌊x+y⌋≤⌊x⌋+⌊y⌋+1\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\le\lfloor x+y\rfloor\le\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1，所以该函数满足全部条件。