对 k≥1k\ge1k≥1，写成 sin(kθ)=ak/5k\sin(k\theta)=a_k/5^ksin(kθ)=ak/5k。递推式给出 ak+1=6ak−25ak−1a_{k+1}=6a_k-25a_{k-1}ak+1=6ak−25ak−1，且 a0=0,a1=4a_0=0,a_1=4a0=0,a1=4，所以 ak+1≡ak≡4(mod5)a_{k+1}\equiv a_k\equiv4\pmod5ak+1≡ak≡4(mod5)。因此 k≠0k\ne0k=0 时 sin(kθ)≠0\sin(k\theta)\ne0sin(kθ)=0；负的 kkk 的情形由正弦的奇函数性质得到。