弦长公式给出 PmPn=2∣sin((m−n)θ)∣P_mP_n=2|\sin((m-n)\theta)|PmPn=2∣sin((m−n)θ)∣，它是有理数。若 Pm=PnP_m=P_nPm=Pn，则 (m−n)θ(m-n)\theta(m−n)θ 是 π\piπ 的整数倍，这与前面证明的非零性矛盾，除非 m=nm=nm=n。因此点集无限且各点互异。所有点都在同一圆上，而直线与圆至多有两个交点，所以任意三点不共线。