第5题

列表

A

包含整数

k\ge1

对应的十进制数

10^k

。列表

B

和

C

分别包含这些数的

2

进制和

5

进制表示。证明：对每个整数

n>1

，列表

B

、

C

中恰有一个列表恰好含有一个

n

位数。

第 3/4 步：验证 Beatty 参数

\frac1{\log_2 10}+\frac1{\log_5 10}=\log_{10}2+\log_{10}5=1

详细分析

令 $\alpha=\log_2 10$ 、 $\beta=\log_5 10$ 。二者均为无理数，且由于 $1/\log_2 10=\log_{10}2$ 、 $1/\log_5 10=\log_{10}5$ ，有 $1/\alpha+1/\beta=1$ 。