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第5题

列表 AA 包含整数 k≥1k\ge1 对应的十进制数 10k10^k。列表 BB 和 CC 分别包含这些数的 22 进制和 55 进制表示。证明：对每个整数 n>1n>1，列表 BB、CC 中恰有一个列表恰好含有一个 nn 位数。
第 4/4 步：应用 Beatty 定理
上一步下一步
{⌊kα⌋:k≥1}∪{⌊kβ⌋:k≥1}=Z>0\{\lfloor k\alpha\rfloor:k\ge1\}\cup\{\lfloor k\beta\rfloor:k\ge1\}=\mathbb Z_{>0}
详细分析

Beatty 定理说明数列 ⌊kα⌋\lfloor k\alpha\rfloor 与 ⌊kβ⌋\lfloor k\beta\rfloor 将正整数恰好分割。这两列分别就是 bk−1b_k-1 与 ck−1c_k-1，所以每个 n>1n>1 恰好一次作为且仅作为一个列表中的位数出现。