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第3题

设 PQRSPQRS 是圆内接四边形，且直线 PQPQ 与 RSRS 不平行。令 A\mathcal A 为一条过 P,QP,Q 的圆与一条过 R,SR,S 的圆的切点集合。求 A\mathcal A。
第 4/5 步：由任意切点反推出候选圆
上一步下一步
TV⋅TV1=TP⋅TQ=TR⋅TS=TV⋅TV2⟹V1=V2=VTV\cdot TV_1=TP\cdot TQ=TR\cdot TS=TV\cdot TV_2\Longrightarrow V_1=V_2=V
详细分析

反之设 V∈AV\in\mathcal A。若两个圆重合，则它们就是 CC，且 V∈CV\in C。否则令 TVTV 与两个圆的另一个交点分别为 V1,V2V_1,V_2。由点幂得 TV⋅TV1=TP⋅TQTV\cdot TV_1=TP\cdot TQ 与 TV⋅TV2=TR⋅TSTV\cdot TV_2=TR\cdot TS。结合第一步的等式及 T≠VT\ne V，有 TV1=TV2TV_1=TV_2，从而 V1=V2=VV_1=V_2=V；因此 TVTV 为切线且 TV2=r2TV^2=r^2。 TT