第4题

设

C

是半径为

R

、圆心为

O

的圆，

S

是其内部定点。设

AA'

与

BB'

是过

S

的互相垂直的弦，构造矩形

SAMB

、

SB'N'A'

、

SA'M'B'

和

SBNA

。当

A

在

C

上运动时，求四点

M,N',M',N

的轨迹。

第 2/5 步：把两条垂直弦与半径联系起来

上一步下一步

AB^2+A'B'^2=4R^2

详细分析

令 $D$ 为 $MN'$ 与 $C$ 的另一个交点。由相等的圆周角得 $AD=AB$ 。又因 $DA'$ 平行于 $MN'$ ，角 $DA'B'$ 为直角；所以 $D$ 与 $B'$ 为直径的两个端点。于是 $A'D^2+D B'^2=4R^2$ ，代入 $AD=AB$ 得 $AB^2+A'B'^2=4R^2$ 。