第4题

设

C

是半径为

R

、圆心为

O

的圆，

S

是其内部定点。设

AA'

与

BB'

是过

S

的互相垂直的弦，构造矩形

SAMB

、

SB'N'A'

、

SA'M'B'

和

SBNA

。当

A

在

C

上运动时，求四点

M,N',M',N

的轨迹。

第 3/5 步：计算两边平方和的常数值

MN'^2+M'N^2=AB^2+A'B'^2+4SA\cdot SA'=8R^2-4OS^2

详细分析

展开两个矩形边长的平方，并在 $S$ 处的直角三角形中应用勾股定理，得到 $MN'^2+M'N^2=AB^2+A'B'^2+4SA\cdot SA'$ 。由上一步这变为 $8R^2-4OS^2$ ，与 $A$ 的位置无关。