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第5题

求最小正整数 kk,使得存在函数 f:Z→{1,2,…,k}f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\},满足当 ∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\} 时总有 f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y)。
第 3/5 步:完成四色染色
f(x)≠f(y)whenever ∣x−y∣∈{5,7,12}f(x)\ne f(y)\quad\text{whenever }|x-y|\in\{5,7,12\}
详细分析

每一步选择可用的最小颜色。上一步的估计保证总有可用颜色。每个禁配点对都会在给较晚端点染色时被检查,所以所得函数满足当 ∣x−y∣∈{5,7,12}|x-y|\in\{5,7,12\} 时 f(x)≠f(y)f(x)\ne f(y)。因此 k≤4k\le4。