第5题

求最小正整数

k

，使得存在函数

f:\mathbb Z\to\{1,2,\dots,k\}

，满足当

|x-y|\in\{5,7,12\}

时总有

f(x)\ne f(y)

。

第 4/5 步：在三色假设下推出相隔两步相等

f(x-5),f(x),f(x+7)\text{ are pairwise distinct},\qquad f(x+2)=f(x)

详细分析

假设存在三色染色。三个整数 $x-5,x,x+7$ 的两两距离为 $5,7,12$ ，所以它们的颜色两两不同。 $x+2$ 到 $x-5$ 的距离为 $7$ ，到 $x+7$ 的距离为 $5$ ，不能使用那两种颜色，故 $f(x+2)=f(x)$ 。 $x-5,x+7,x+2$ $12,5,5$