第1题

设四边形

ABCD

满足

AB=BC=CD=DA

。设

MN

、

PQ

是垂直于对角线

BD

的线段，且

M\in AD

、

N\in DC

、

P\in AB

、

Q\in BC

，两线段距离为

d>BD/2

。证明当距离保持为

d

时，六边形

AMNCQP

的周长与

MN

和

PQ

的位置无关。

第 1/5 步：用有向位置参数化两条截线

h=\frac{BD}{2},\qquad s<0<t,\qquad t-s=d

详细分析

令 $O$ 为 $BD$ 中点，置 $h=BD/2$ 。沿 $BD$ 从 $O$ 测量有向距离。由于 $MN$ 与 $AD,DC$ 相交而 $PQ$ 与 $AB,BC$ 相交，记它们的位置分别为 $s<0$ 、 $t>0$ 。它们的垂直距离为 $t-s=d$ 。