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亚太数学奥林匹克 · 1996年

试题

  1. 第1题设四边形 ABCDABCD 满足 AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA。设 MNMN、PQPQ 是垂直于对角线 BDBD 的线段，且 M∈ADM\in AD、N∈DCN\in DC、P∈ABP\in AB、Q∈BCQ\in BC，两线段距离为 d>BD/2d>BD/2。证明当距离保持为 dd 时，六边形 AMNCQPAMNCQP 的周长与 MNMN 和 PQPQ 的位置无关。解法: 1
  2. 第2题设正整数 m,nm,n 满足 n≤mn\le m。证明 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n。解法: 1
  3. 第3题设 P1,P2,P3,P4P_1,P_2,P_3,P_4 是圆上的四点。对每个 ii，令 IiI_i 为其余三点组成三角形的内心。证明 I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 是一个矩形的顶点。解法: 1
  4. 第4题全国婚姻委员会要邀请 nn 对夫妇组成 1717 个讨论组。每组成员必须性别相同；任意两组人数之差为 00 或 11；每组至少一人；每人恰好属于一个组。求所有满足条件且 n≤1996n\le1996 的 。解法: 1
  5. 第5题设 a,b,ca,b,c 是三角形的边长。证明 a+b−c+b+c−a+c+a−b≤a+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c，并求等号成立的条件。解法: 1