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第2题

设正整数 m,nm,n 满足 n≤mn\le m。证明 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n。
第 1/4 步:展开阶乘商
(m+n)!(m−n)!=∏i=1n(m+i)(m−i+1)\frac{(m+n)!}{(m-n)!}=\prod_{i=1}^n(m+i)(m-i+1)
详细分析

将从 m−n+1m-n+1 到 m+nm+n 的因子关于 mm 对称配对。因此 (m+n)!(m−n)!=∏i=1n(m+i)(m−i+1)\frac{(m+n)!}{(m-n)!}=\prod_{i=1}^n(m+i)(m-i+1)。