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亚太数学奥林匹克
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1996年
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第2题
第2题
设正整数
m
,
n
m,n
m
,
n
满足
n
≤
m
n\le m
n
≤
m
。证明
2
n
n
!
≤
(
m
+
n
)
!
(
m
−
n
)
!
≤
(
m
2
+
m
)
n
2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n
2
n
n
!
≤
(
m
−
n
)!
(
m
+
n
)!
≤
(
m
2
+
m
)
n
。
第 2/4 步：化简一对因子
上一步
下一步
(
m
+
i
)
(
m
−
i
+
1
)
=
m
2
+
m
−
i
2
+
i
(m+i)(m-i+1)=m^2+m-i^2+i
(
m
+
i
)
(
m
−
i
+
1
)
=
m
2
+
m
−
i
2
+
i
详细分析
直接展开得
(
m
+
i
)
(
m
−
i
+
1
)
=
m
2
+
m
−
i
2
+
i
(m+i)(m-i+1)=m^2+m-i^2+i
(
m
+
i
)
(
m
−
i
+
1
)
=
m
2
+
m
−
i
2
+
i
。只需对
i
i
i
到
n
n
n
估计此量。
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