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第2题

设正整数 m,nm,n 满足 n≤mn\le m。证明 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n。
第 3/4 步：建立逐项上下界
上一步下一步
2i≤m2+m−i2+i≤m2+m(1≤i≤n≤m)2i\le m^2+m-i^2+i\le m^2+m\qquad(1\le i\le n\le m)
详细分析

上界来自 i≥1i\ge1 时 −i2+i≤0-i^2+i\le0。下界 m2+m−i2+i≥2im^2+m-i^2+i\ge2i 等价于 m2+m≥i2+im^2+m\ge i^2+i，而因 i≤mi\le m 且 u2+uu^2+u 在正数上递增，该式成立。 uu