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第2题

设正整数 m,nm,n 满足 n≤mn\le m。证明 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\dfrac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n。
第 4/4 步：将上下界相乘
上一步下一步
∏i=1n2i=2nn!≤∏i=1n(m+i)(m−i+1)≤∏i=1n(m2+m)=(m2+m)n\prod_{i=1}^n2i=2^n n!\le\prod_{i=1}^n(m+i)(m-i+1)\le\prod_{i=1}^n(m^2+m)=(m^2+m)^n
详细分析

所有成对因子均为正，因此逐项不等式相乘后方向不变。使用第一步的乘积恒等式，恰得 2nn!≤(m+n)!(m−n)!≤(m2+m)n2^n n!\le\frac{(m+n)!}{(m-n)!}\le(m^2+m)^n。