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第3题

设 P1,P2,P3,P4P_1,P_2,P_3,P_4 是圆上的四点。对每个 ii,令 IiI_i 为其余三点组成三角形的内心。证明 I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 是一个矩形的顶点。
第 1/5 步:构造四个辅助圆
C12,C23,C34,C41 have centers O12,O23,O34,O41 on CC_{12},C_{23},C_{34},C_{41}\text{ have centers }O_{12},O_{23},O_{34},O_{41}\text{ on }C
详细分析

对每个连续点对 (Pi,Pi+1)(P_i,P_{i+1}),作圆 Ci,i+1C_{i,i+1},其圆心 Oi,i+1O_{i,i+1} 在给定圆 CC 上且经过这两点。下标循环使用,故 P5=P1P_5=P_1。