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第3题

设 P1,P2,P3,P4P_1,P_2,P_3,P_4 是圆上的四点。对每个 ii,令 IiI_i 为其余三点组成三角形的内心。证明 I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 是一个矩形的顶点。
第 3/5 步:通过追角得到矩形的方向
Q1Q4∥Q2Q3,Q1Q2∥Q3Q4,Q1Q4⊥Q1Q2Q_1Q_4\parallel Q_2Q_3,\qquad Q_1Q_2\parallel Q_3Q_4,\qquad Q_1Q_4\perp Q_1Q_2
详细分析

由辅助圆中的角相等关系得 Q1Q4∥Q2Q3Q_1Q_4\parallel Q_2Q_3 与 Q1Q2∥Q3Q4Q_1Q_2\parallel Q_3Q_4。相邻辅助圆的圆心是 CC 上弧的中点,相应圆心弦互相垂直;因此 Q1Q4⊥Q1Q2Q_1Q_4\perp Q_1Q_2。