第3题

设

P_1,P_2,P_3,P_4

是圆上的四点。对每个

i

，令

I_i

为其余三点组成三角形的内心。证明

I_1,I_2,I_3,I_4

是一个矩形的顶点。

第 5/5 步：将四个顶点识别为四个内心

上一步下一步

Q_1=I_4,\qquad Q_2=I_3,\qquad Q_3=I_2,\qquad Q_4=I_1

详细分析

在 $Q_1$ 处，两辅助圆的圆心给出三角形 $P_1P_2P_3$ 三个顶点的角平分线；等价地 $Q_1$ 在三个内角平分线上。因此 $Q_1=I_4$ 。循环地有 $Q_2=I_3$ 、 $Q_3=I_2$ 、 $Q_4=I_1$ 。所以题给四个内心正是已证矩形的四个顶点。 $P_1,P_2,P_3$