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第5题

设 a,b,ca,b,c 是三角形的边长。证明 a+b−c+b+c−a+c+a−b≤a+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c，并求等号成立的条件。
第 2/5 步：应用引理得到根号 a 项
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a=(a+b−c)+(c+a−b)2≥a+b−c+c+a−b2\sqrt{a}=\sqrt{\frac{(a+b-c)+(c+a-b)}{2}}\ge\frac{\sqrt{a+b-c}+\sqrt{c+a-b}}{2}
详细分析

三角形不等式保证三个被开方数为正。由于 (a+b−c)+(c+a−b)=2a(a+b-c)+(c+a-b)=2a，对 x=a+b−cx=a+b-c、y=c+a−by=c+a-b 应用引理即得 a\sqrt a 的所示估计。