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第5题

设 a,b,ca,b,c 是三角形的边长。证明 a+b−c+b+c−a+c+a−b≤a+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c，并求等号成立的条件。
第 3/5 步：对另外两边应用引理
上一步下一步
b=(a+b−c)+(b+c−a)2≥a+b−c+b+c−a2,c=(b+c−a)+(c+a−b)2≥b+c−a+c+a−b2\sqrt{b}=\sqrt{\frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2}}\ge\frac{\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}}{2},\quad\sqrt{c}=\sqrt{\frac{(b+c-a)+(c+a-b)}{2}}\ge\frac{\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}}{2}
详细分析

对另外两对应用同一引理，得到 b\sqrt b、c\sqrt c 的估计。与上一步相加时，每个被开方数的平方根在右边恰出现两次并除以二。