亚太数学奥林匹克 · 1997年

试题

第1题令 $T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$ ， $S_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n$ 。证明 $1/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001$ 。解法: 1
第2题求一个满足 $100\le n\le1997$ 且 $n$ 整除 $2^n+2$ 的整数 $n$ 。解法: 1
第3题设 $ABC$ 为三角形。角 $A$ 的平分线与 $BC$ 交于 $X$ ，与外接圆交于 $Y$ 。令 $r_A=AX/AY$ ，类似定义 $r_B,r_C$ 。证明 $r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3$ ，且等号当且仅当三角形为等边三角形。解法: 1
第4题设 $P_1$ 、 $P_3$ 为固定点。 $P_2$ 在过 $P_3$ 且垂直于 $P_1P_3$ 的直线上运动。定义 $P_{n+1}$ 为从 $P_n$ 到直线 $P_{n-1}P_{n-2}$ 的垂足。证明该数列收敛到一点 $P$ ，并求 $P_2$ 变化时 $P$ 的轨迹。解法: 1
第5题 $n$ 个人围坐成圈，共分配 $nk$ 枚硬币但不一定平均。一步是相邻两人之间转移一枚硬币。求一个用最少步数使每人硬币数相同的算法。解法: 1