MathLabs

第1题

令 Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)/2T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2，Sn=1/T1+1/T2+⋯+1/TnS_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n。证明 1/S1+1/S2+⋯+1/S1996>10011/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001。
第 1/5 步：改写每个三角数的倒数
上一步下一步
1Tm=2m(m+1)=2(1m−1m+1)\frac1{T_m}=\frac2{m(m+1)}=2\left(\frac1m-\frac1{m+1}\right)
详细分析

由于 Tm=m(m+1)/2T_m=m(m+1)/2，因式分解得到 1/Tm=2(1/m−1/(m+1))1/T_m=2(1/m-1/(m+1))。