MathLabs

第1题

令 Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)/2T_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2,Sn=1/T1+1/T2+⋯+1/TnS_n=1/T_1+1/T_2+\cdots+1/T_n。证明 1/S1+1/S2+⋯+1/S1996>10011/S_1+1/S_2+\cdots+1/S_{1996}>1001。
第 4/5 步:估计调和和
∑n=119961n>6\sum_{n=1}^{1996}\frac1n>6
详细分析

把各项分成 11、1/21/2、1/3+1/41/3+1/4、1/5+⋯+1/81/5+\cdots+1/8 以及直到 10241024 的二进制区间。除第一块外每块都大于 1/21/2,故 ∑n=119961/n>6\sum_{n=1}^{1996}1/n>6。