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第3题

设 ABCABC 为三角形。角 AA 的平分线与 BCBC 交于 XX，与外接圆交于 YY。令 rA=AX/AYr_A=AX/AY，类似定义 rB,rCr_B,r_C。证明 rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3，且等号当且仅当三角形为等边三角形。
第 1/5 步：在 AXBAXB 中应用正弦定理
上一步下一步
AXAB=sin⁡Bsin⁡(B+A/2)\frac{AX}{AB}=\frac{\sin B}{\sin(B+A/2)}
详细分析

由于 ∠AXB=180∘−B−A/2\angle AXB=180^\circ-B-A/2，正弦定理给出 AX/AB=sin⁡B/sin⁡(B+A/2)AX/AB=\sin B/\sin(B+A/2)。