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第3题

设 ABCABC 为三角形。角 AA 的平分线与 BCBC 交于 XX，与外接圆交于 YY。令 rA=AX/AYr_A=AX/AY，类似定义 rB,rCr_B,r_C。证明 rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3，且等号当且仅当三角形为等边三角形。
第 2/5 步：计算 rAr_A
上一步下一步
ABAY=sin⁡Csin⁡(B+A/2),rA=sin⁡Bsin⁡Csin⁡2(B+A/2)\frac{AB}{AY}=\frac{\sin C}{\sin(B+A/2)},\qquad r_A=\frac{\sin B\sin C}{\sin^2(B+A/2)}
详细分析

在 ABYABY 中应用正弦定理得 AB/AY=sin⁡C/sin⁡(B+A/2)AB/AY=\sin C/\sin(B+A/2)。与前式相乘得到 rA=sin⁡Bsin⁡C/sin⁡2(B+A/2)r_A=\sin B\sin C/\sin^2(B+A/2)。