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第3题

设 ABCABC 为三角形。角 AA 的平分线与 BCBC 交于 XX，与外接圆交于 YY。令 rA=AX/AYr_A=AX/AY，类似定义 rB,rCr_B,r_C。证明 rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3，且等号当且仅当三角形为等边三角形。
第 3/5 步：分离乘积为一的因子
上一步下一步
sA=sin⁡Bsin⁡Csin⁡2A,sAsBsC=1s_A=\frac{\sin B\sin C}{\sin^2A},\qquad s_As_Bs_C=1
详细分析

因此 rA/sin⁡2A=sA/sin⁡2(B+A/2)r_A/\sin^2A=s_A/\sin^2(B+A/2)，其余循环类似。由定义 sAsBsC=1s_As_Bs_C=1，AM-GM 给出 sA+sB+sC≥3s_A+s_B+s_C\ge3。