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第3题

设 ABCABC 为三角形。角 AA 的平分线与 BCBC 交于 XX，与外接圆交于 YY。令 rA=AX/AYr_A=AX/AY，类似定义 rB,rCr_B,r_C。证明 rA/sin⁡2A+rB/sin⁡2B+rC/sin⁡2C≥3r_A/\sin^2A+r_B/\sin^2B+r_C/\sin^2C\ge3，且等号当且仅当三角形为等边三角形。
第 5/5 步：检验等号
上一步下一步
A=B=C=60∘A=B=C=60^\circ
详细分析

等号要求 AM-GM 和三个正弦界都取等。方程 B+A/2=C+B/2=A+C/2=90∘B+A/2=C+B/2=A+C/2=90^\circ 强制 A=B=C=60∘A=B=C=60^\circ，而等边三角形确实取等。