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第4题

设 P1P_1、P3P_3 为固定点。P2P_2 在过 P3P_3 且垂直于 P1P3P_1P_3 的直线上运动。定义 Pn+1P_{n+1} 为从 PnP_n 到直线 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} 的垂足。证明该数列收敛到一点 PP，并求 P2P_2 变化时 PP 的轨迹。
第 2/5 步：使用第一次相似
上一步下一步
P5P4P6∼P1P2P3,P4P5∥P1P2P_5P_4P_6\sim P_1P_2P_3,\qquad P_4P_5\parallel P_1P_2
详细分析

三角形 P5P4P6P_5P_4P_6 按该顶点顺序与 P1P2P3P_1P_2P_3 相似。由于 P4P5∥P1P2P_4P_5\parallel P_1P_2，相似变换是绕 PP 的半周转动。因此 P1,P,P5P_1,P,P_5 共线。