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第4题

设 P1P_1、P3P_3 为固定点。P2P_2 在过 P3P_3 且垂直于 P1P3P_1P_3 的直线上运动。定义 Pn+1P_{n+1} 为从 PnP_n 到直线 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} 的垂足。证明该数列收敛到一点 PP，并求 P2P_2 变化时 PP 的轨迹。
第 3/5 步：确定 PP 所在的圆
上一步下一步
P3P4P5∼P1P2P3,P1P⊥P3PP_3P_4P_5\sim P_1P_2P_3,\qquad P_1P\perp P_3P
详细分析

三角形 P3P4P5P_3P_4P_5 是由 P1P2P3P_1P_2P_3 绕 PP 旋转四分之一周得到的。直线 P1P5P_1P_5 被变为过 P3P_3 的垂线，所以 P1P⊥P3PP_1P\perp P_3P。故 PP 在直径为 P1P3P_1P_3 的圆上。