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第4题

设 P1P_1、P3P_3 为固定点。P2P_2 在过 P3P_3 且垂直于 P1P3P_1P_3 的直线上运动。定义 Pn+1P_{n+1} 为从 PnP_n 到直线 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} 的垂足。证明该数列收敛到一点 PP，并求 P2P_2 变化时 PP 的轨迹。
第 4/5 步：限制圆上的位置
上一步下一步
P3P5=12P1P3sin⁡2∠P1P_3P_5=\frac12P_1P_3\sin2\angle P_1
详细分析

将三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 中相关的角记为 ∠P1\angle P_1 与 ∠P2\angle P_2。由构造有 P3P5=P3P1sin⁡∠P1cos⁡∠P2=(1/2)P3P1sin⁡2∠P1P_3P_5=P_3P_1\sin\angle P_1\cos\angle P_2=(1/2)P_3P_1\sin2\angle P_1，故 ∣P3P5∣≤P1P3/2|P_3P_5|\le P_1P_3/2；当 P2P_2 在 P3P_3 两侧移动时，两个符号都会出现。