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第4题

设 P1P_1、P3P_3 为固定点。P2P_2 在过 P3P_3 且垂直于 P1P3P_1P_3 的直线上运动。定义 Pn+1P_{n+1} 为从 PnP_n 到直线 Pn−1Pn−2P_{n-1}P_{n-2} 的垂足。证明该数列收敛到一点 PP，并求 P2P_2 变化时 PP 的轨迹。
第 5/5 步：描述轨迹弧
上一步下一步
∠XP1Y=2tan⁡−1(1/2),∠XOY=4tan⁡−1(1/2)\angle XP_1Y=2\tan^{-1}(1/2),\qquad\angle XOY=4\tan^{-1}(1/2)
详细分析

因此轨迹是直径为 P1P3P_1P_3 的圆上的圆弧 XP3YXP_3Y，满足 XP3=YP3XP_3=YP_3 且 ∠XP1Y=2tan⁡−1(1/2)\angle XP_1Y=2\tan^{-1}(1/2)。若 OO 是 P1P3P_1P_3 的中点，则圆心角为 ∠XOY=4tan⁡−1(1/2)\angle XOY=4\tan^{-1}(1/2)。