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亚太数学奥林匹克
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1998年
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第2题
第2题
证明:对任意正整数
a
a
a
和
b
b
b
,
(
36
a
+
b
)
(
a
+
36
b
)
(36a+b)(a+36b)
(
36
a
+
b
)
(
a
+
36
b
)
不可能是
2
2
2
的幂。
第 1/4 步:假设存在反例
上一步
下一步
(
36
a
+
b
)
(
a
+
36
b
)
=
2
r
(36a+b)(a+36b)=2^r
(
36
a
+
b
)
(
a
+
36
b
)
=
2
r
详细分析
假设存在反例,必要时交换
a
,
b
a,b
a
,
b
使
a
≤
b
a\le b
a
≤
b
,并取
a
a
a
最小的反例。由于两个因子是正整数且乘积为
2
r
2^r
2
r
,每个因子都必须是
2
2
2
的幂。
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