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亚太数学奥林匹克
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1999年
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第2题
第2题
设实数列 a1,a2,... 满足对所有正整数 i,j 都有 a(i+j) <= ai+aj。证明对每个正整数 n，a1+a2/2+...+an/n >= an。
第 2/4 步：相加归纳假设
上一步
下一步
(
n
+
1
)
b
1
+
(
n
+
1
)
b
2
+
⋯
+
(
n
+
1
)
b
n
≥
2
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
(n+1)b_1+(n+1)b_2+\cdots+(n+1)b_n\ge2(a_1+\cdots+a_n)
(
n
+
1
)
b
1
+
(
n
+
1
)
b
2
+
⋯
+
(
n
+
1
)
b
n
≥
2
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
详细分析
假设对 k=1 到 n 都有 b1+...+bk >= ak。将这 n 个不等式相加，再加上恒等式 b1+2b2+...+n bn=a1+...+an。每个 bi 的系数变为 n+1，得到所示不等式。
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