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亚太数学奥林匹克 · 1999年

试题

  1. 第1题求最小正整数 n，使得不存在含有恰好 n 个整数的 1999 项实数等差数列。解法: 1
  2. 第2题设实数列 a1,a2,... 满足对所有正整数 i,j 都有 a(i+j) <= ai+aj。证明对每个正整数 n，a1+a2/2+...+an/n >= an。解法: 1
  3. 第3题两圆分别在 A、B 处与直线 AB 相切，并交于 X、Y，其中 X 更靠近 AB。圆 AXY 在 X 处的切线与圆 BXY 交于 W。射线 AX 与 BW 交于 Z。证明 BW、BX 都是圆 XYZ 的切线。解法: 1
  4. 第4题求所有整数对 (m,n)，使 m 的平方加 4n 与 n 的平方加 4m 都是完全平方数。解法: 1
  5. 第5题平面上有 2n+1 个点，任意三点不共线且任意四点不共圆。若一个圆经过其中 3 个点且内部恰有 n-1 个点，则称其分割该点集。证明分割点集的圆的数目为偶数当且仅当 n 为偶数。解法: 1