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亚太数学奥林匹克
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1999年
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第2题
第2题
设实数列 a1,a2,... 满足对所有正整数 i,j 都有 a(i+j) <= ai+aj。证明对每个正整数 n，a1+a2/2+...+an/n >= an。
第 3/4 步：利用次可加性配对各项
上一步
下一步
2
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
2
+
a
n
−
1
)
+
⋯
+
(
a
n
+
a
1
)
≥
n
a
n
+
1
2(a_1+\cdots+a_n)=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1)\ge n a_{n+1}
2
(
a
1
+
⋯
+
a
n
)
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
2
+
a
n
−
1
)
+
⋯
+
(
a
n
+
a
1
)
≥
n
a
n
+
1
详细分析
由条件，对每个 i 有 ai+a(n+1-i) >= a(n+1)。将所有项配对得 2(a1+...+an) >= n a(n+1)。结合上一行，bi 的部分和乘 n+1 至少为 n a(n+1)。
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