MathLabs

第4题

求所有整数对 (m,n)，使 m 的平方加 4n 与 n 的平方加 4m 都是完全平方数。
第 3/5 步：处理根 1
上一步下一步
x=1⇒n=m+1,(m2+4n,n2+4m)=((m+2)2,(m+1)2)x=1\Rightarrow n=m+1,\qquad (m^2+4n,n^2+4m)=((m+2)^2,(m+1)^2)
详细分析

将 x=1 代入 x^2+mx-n=0 得 n=m+1。此时两个表达式分别自动成为 (m+2) 的平方和 (m+1) 的平方。将自由整数记为 k，得到 (m,n)=(k,1-k)。