第5题

平面上有 2n+1 个点，任意三点不共线且任意四点不共圆。若一个圆经过其中 3 个点且内部恰有 n-1 个点，则称其分割该点集。证明分割点集的圆的数目为偶数当且仅当 n 为偶数。

第 1/5 步：排列经过固定点对的圆

C_1,C_2,\ldots,C_{2n-1}

详细分析

固定 A、B。其余 2n-1 个点分别确定一个过 A、B 的圆。按圆心在 AB 垂直平分线上的位置排序，记为 C1,...,C2n-1，Ci 的第三点记为 Xi。令 AB 分出的两个半平面为 L、R。