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第1题

设 xi=i101x_i = \frac{i}{101},求和 S=∑i=0101xi31−3xi+3xi2S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2} 的值。
第 1/4 步:确定各项之间的互补关系
通俗地说

分点 xix_i 将区间 [0,1][0, 1] 均分为 101101 等份,因此关于中点 12\frac{1}{2} 对称反射会将 xix_i 与 1−xi=x101−i1 - x_i = x_{101-i} 配成一对。

x101−i=101−i101=1−i101=1−xix_{101-i} = \frac{101-i}{101} = 1 - \frac{i}{101} = 1 - x_i
详细分析

对于每个下标 i∈{0,1,…,101}i \in \{0, 1, \ldots, 101\},反射后的下标 101−i101 - i 同样属于 {0,1,…,101}\{0, 1, \ldots, 101\},且对应的节点满足 x101−i=101−i101=1−xix_{101-i} = \frac{101-i}{101} = 1 - x_i。