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第1题

设 xi=i101x_i = \frac{i}{101}，求和 S=∑i=0101xi31−3xi+3xi2S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2} 的值。
第 3/4 步：颠倒求和顺序并将两个和式相加
上一步下一步
通俗地说

就像高斯求等差数列之和的技巧一样，把从前往后的第 ii 项与从后往前的第 ii 项配对，每一对都会约分化简为 11。

2S=∑i=0101xi3x101−i3+xi3+∑i=0101x101−i3xi3+x101−i3=∑i=0101xi3+x101−i3x101−i3+xi32S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3} + \sum_{i=0}^{101} \frac{x_{101-i}^3}{x_i^3 + x_{101-i}^3} = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3 + x_{101-i}^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3}
详细分析

在和式 S=∑i=0101xi3x101−i3+xi3S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{x_{101-i}^3 + x_i^3} 中将求和下标 ii 替换为 101−i101 - i，可得 S=∑i=0101x101−i3xi3+x101−i3S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_{101-i}^3}{x_i^3 + x_{101-i}^3}。将这两个表达式逐项相加，分子便在公分母 x101−i3+xi3x_{101-i}^3 + x_i^3 上合并。