第1题

设

x_i = \frac{i}{101}

，求和

S = \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1 - 3x_i + 3x_i^2}

的值。

第 4/4 步：统计项数并除以二

通俗地说

注意求和下标从 $0$ 到 $101$ 包含两端，因此一共有 $101 - 0 + 1 = 102$ 项，最终和为 $51$ 。

2S = \sum_{i=0}^{101} 1 = 102 \implies S = 51

详细分析

由于对每个 $i \in \{0, 1, \ldots, 101\}$ 都有 $x_i^3 + x_{101-i}^3 > 0$ ，合并后的和式中共有 $102$ 项且每一项都等于 $1$ 。因此 $2S = 102$ ，从而 $S = 51$ 。