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第2题

沿着三角形的周界排列着 99 个圆圈，每条边上有 44 个圆圈（三个顶点处的圆圈由相邻两边共用，每条边内部各有两个圆圈）。将数字 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 分别填入这些圆圈中，使得每个圆圈恰好填入一个数字，并且满足：(i) 三角形每条边上四个数字之和都相等；(ii) 三角形每条边上四个数字的平方和也都相等。求出所有满足条件的填法。
第 1/4 步：建立每边之和、平方和与三个顶点数之间的关系
上一步下一步
通俗地说

当各条边在顶点处重叠时，对所有边求和就能在模边数（此处为 33）的意义下把顶点处的贡献单独分离出来。

3s=a+b+c+∑k=19k=a+b+c+45,3t=a2+b2+c2+∑k=19k2=a2+b2+c2+2853s = a + b + c + \sum_{k=1}^{9} k = a + b + c + 45, \qquad 3t = a^2 + b^2 + c^2 + \sum_{k=1}^{9} k^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 285
详细分析

设三个顶点圆圈中的数分别为 a,b,ca, b, c，每条边上四个数的公共和为 ss，公共平方和为 tt。将三条边相加，会把 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 中的每个数各计入一次，并把每个顶点数額外多计一次，从而得到 3s=a+b+c+453s = a + b + c + 45 与 3t=a2+b2+c2+2853t = a^2 + b^2 + c^2 + 285。因为 4545 和 285285 都是 33 的倍数，所以 a+b+ca + b + c 与 a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 都必须能被 33 整除。