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第2题

沿着三角形的周界排列着 99 个圆圈，每条边上有 44 个圆圈（三个顶点处的圆圈由相邻两边共用，每条边内部各有两个圆圈）。将数字 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 分别填入这些圆圈中，使得每个圆圈恰好填入一个数字，并且满足：(i) 三角形每条边上四个数字之和都相等；(ii) 三角形每条边上四个数字的平方和也都相等。求出所有满足条件的填法。
第 3/4 步：利用模4性质排除前两组候选顶点集合
上一步下一步
通俗地说

在模 44 下检验平方和是一个极快的过滤器：任何两个整数的平方和都不可能同余于 3(mod4)3 \pmod{4}，无需试凑即可直接排除 4747 和 6767。

{a,b,c}={3,6,9}  ⟹  t=137, x2+y2=47≡3(mod4);{a,b,c}={1,4,7}  ⟹  t=117, x2+y2=67≡3(mod4)\{a,b,c\}=\{3,6,9\} \implies t=137,\ x^2+y^2=47 \equiv 3 \pmod{4}; \qquad \{a,b,c\}=\{1,4,7\} \implies t=117,\ x^2+y^2=67 \equiv 3 \pmod{4}
详细分析

若 {a,b,c}={3,6,9}\{a, b, c\} = \{3, 6, 9\}，则 3t=32+62+92+285=4113t = 3^2 + 6^2 + 9^2 + 285 = 411，得 t=137t = 137。在连接顶点 33 与 99 的边上，中间两个数 x,yx, y 必须满足 x2+y2=137−(32+92)=47≡3(mod4)x^2 + y^2 = 137 - (3^2 + 9^2) = 47 \equiv 3 \pmod{4}，但这不可能，因为 x2,y2≡0x^2, y^2 \equiv 0 或 1(mod4)1 \pmod{4} 意味着 x2+y2≡0,1,2(mod4)x^2 + y^2 \equiv 0, 1, 2 \pmod{4}。同理，若 {a,b,c}={1,4,7}\{a, b, c\} = \{1, 4, 7\}，则 3t=12+42+72+285=3513t = 1^2 + 4^2 + 7^2 + 285 = 351，得 t=117t = 117；在连接 11 与 77 的边上，中间两数需满足 x2+y2=117−(12+72)=67≡3(mod4)x^2 + y^2 = 117 - (1^2 + 7^2) = 67 \equiv 3 \pmod{4}，同样无解。