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第2题

沿着三角形的周界排列着 99 个圆圈，每条边上有 44 个圆圈（三个顶点处的圆圈由相邻两边共用，每条边内部各有两个圆圈）。将数字 1,2,…,91, 2, \ldots, 9 分别填入这些圆圈中，使得每个圆圈恰好填入一个数字，并且满足：(i) 三角形每条边上四个数字之和都相等；(ii) 三角形每条边上四个数字的平方和也都相等。求出所有满足条件的填法。
第 4/4 步：求解剩余的顶点情形并统计所有对称填法
上一步下一步
通俗地说

一旦将 {2,5,8}\{2, 5, 8\} 放入三个顶点，每条边内部的两个数作为集合就唯一确定了；剩下的自由度只有顶点的 3!=63! = 6 种排列和每边内部两数的 23=82^3 = 8 种交换，共给出 4848 种解。

{a,b,c}={2,5,8}  ⟹  s=20, t=126;{3,7} on (2,8), {4,9} on (2,5), {1,6} on (5,8)\{a,b,c\}=\{2,5,8\} \implies s=20,\ t=126; \qquad \{3,7\}\text{ on }(2,8),\ \{4,9\}\text{ on }(2,5),\ \{1,6\}\text{ on }(5,8)
详细分析

当 {a,b,c}={2,5,8}\{a, b, c\} = \{2, 5, 8\} 时，有 3s=2+5+8+45=60  ⟹  s=203s = 2 + 5 + 8 + 45 = 60 \implies s = 20 以及 3t=22+52+82+285=378  ⟹  t=1263t = 2^2 + 5^2 + 8^2 + 285 = 378 \implies t = 126。边 (2,8)(2, 8)、(2,5)(2, 5) 与 (5,8)(5, 8) 上的中间数对的平方和必须分别为 x2+y2=126−68=58x^2 + y^2 = 126 - 68 = 58、t12+u12=126−29=97t_1^2 + u_1^2 = 126 - 29 = 97 与 m2+n2=126−89=37m^2 + n^2 = 126 - 89 = 37。在剩余数字 {1,3,4,6,7,9}\{1, 3, 4, 6, 7, 9\} 中，唯一解为 {x,y}={3,7}\{x, y\} = \{3, 7\}、{t1,u1}={4,9}\{t_1, u_1\} = \{4, 9\} 与 {m,n}={1,6}\{m, n\} = \{1, 6\}，且每条边的和也都恰好为 s=20s = 20。将顶点集合 {2,5,8}\{2, 5, 8\} 全排列有 3!=63! = 6 种方式，再将每条边内部的两个数交换位置有 23=82^3 = 8 种方式，共计 3!⋅23=483! \cdot 2^3 = 48 种填法。