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第4题

设 n,kn, k 为给定的正整数，且满足 n>kn > k。证明：1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}。
第 2/4 步：利用二项式定理展开 nnn^n 证明右侧上界
上一步下一步
通俗地说

在若干个正数之和中，单独拿出一项必然小于整体的总和。

nn=((n−k)+k)n=∑i=0n(ni)(n−k)n−iki=∑i=0nTi+1>Tk+1n^n = ((n-k) + k)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (n-k)^{n-i} k^i = \sum_{i=0}^{n} T_{i+1} > T_{k+1}
详细分析

由二项式定理，nn=((n−k)+k)n=∑i=0nTi+1n^n = ((n-k) + k)^n = \sum_{i=0}^{n} T_{i+1}，其中 Ti+1=(ni)(n−k)n−ikiT_{i+1} = \binom{n}{i} (n-k)^{n-i} k^i（0≤i≤n0 \le i \le n）。因为 n>k≥1n > k \ge 1，每一项 Ti+1T_{i+1} 都严格为正，且和式中共有 n+1≥3n + 1 \ge 3 项。特别地，单独一项 Tk+1=(nk)kk(n−k)n−kT_{k+1} = \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} 严格小于全部项之和 nnn^n，从而证得右侧不等式。