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第4题

设 n,kn, k 为给定的正整数，且满足 n>kn > k。证明：1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}。
第 3/4 步：比较相邻两项之比以证明 Tk+1T_{k+1} 是最大项
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通俗地说

随着 ii 增大，(ni)\binom{n}{i} 把因子 (n−i+1)(n-i+1) 换成 ii，同时 (n−k)n−iki(n-k)^{n-i} k^i 把 (n−k)(n-k) 换成 kk；由增转减的临界点恰好出现在 in−i+1\frac{i}{n-i+1} 越过 kn−k\frac{k}{n-k} 的时刻，即 i=ki = k 之后。

Ti+1Ti=(ni)(n−k)n−iki(ni−1)(n−k)n−i+1ki−1=(n−i+1)ki(n−k),Ti+1Ti>1  ⟺  i≤k\frac{T_{i+1}}{T_i} = \frac{\binom{n}{i}(n-k)^{n-i}k^i}{\binom{n}{i-1}(n-k)^{n-i+1}k^{i-1}} = \frac{(n-i+1)k}{i(n-k)}, \qquad \frac{T_{i+1}}{T_i} > 1 \iff i \le k
详细分析

对 1≤i≤n1 \le i \le n，相邻两项之比为 Ti+1Ti=(n−i+1)ki(n−k)\frac{T_{i+1}}{T_i} = \frac{(n-i+1)k}{i(n-k)}。因此 Ti+1Ti>1  ⟺  (n−i+1)k>i(n−k)  ⟺  (n+1)k>in  ⟺  i<k+kn\frac{T_{i+1}}{T_i} > 1 \iff (n-i+1)k > i(n-k) \iff (n+1)k > in \iff i < k + \frac{k}{n}。由于 0<kn<10 < \frac{k}{n} < 1 且 ii 为整数，i<k+kni < k + \frac{k}{n} 等价于 i≤ki \le k（并且等号 Ti+1Ti=1\frac{T_{i+1}}{T_i} = 1 不会成立）。于是有 T1<T2<⋯<Tk+1>Tk+2>⋯>Tn+1T_1 < T_2 < \cdots < T_{k+1} > T_{k+2} > \cdots > T_{n+1}。