MathLabs

第4题

设 n,kn, k 为给定的正整数，且满足 n>kn > k。证明：1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k\frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}}。
第 4/4 步：用全部 n + 1 项的平均值给出最大项的下界
上一步下一步
通俗地说

在不全相等的 n+1n + 1 个数中，最大的那个数总是严格大于它们的算术平均值。

Tk+1=max⁡1≤j≤n+1Tj>1n+1∑j=1n+1Tj=nnn+1T_{k+1} = \max_{1 \le j \le n+1} T_j > \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} T_j = \frac{n^n}{n+1}
详细分析

由于 Tk+1=(nk)kk(n−k)n−kT_{k+1} = \binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} 严格大于 n+1n + 1 项 T1,T2,…,Tn+1T_1, T_2, \ldots, T_{n+1} 中的其余各项，故有 (n+1)Tk+1>∑j=1n+1Tj=nn(n+1) T_{k+1} > \sum_{j=1}^{n+1} T_j = n^n。两边同除以 n+1n + 1 即得 (nk)kk(n−k)n−k>nnn+1\binom{n}{k} k^k (n-k)^{n-k} > \frac{n^n}{n+1}，从而证得左侧不等式，证毕。