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第2题

求最大的正整数 NN，使得集合 {1,2,…,N}\{1,2,\dots,N\} 中能被 33 整除的整数个数，等于能被 55 或 77（或两者）整除的整数个数。
第 4/6 步：排除所有不小于 69 的 N
上一步下一步
D(N+105)=D(N)+2,min⁡69≤N≤173D(N)=1  ⟹  D(N)>0 for all N≥69.D(N+105)=D(N)+2,\qquad \min_{69\le N\le173}D(N)=1\implies D(N)>0\text{ for all }N\ge69.
详细分析

取整表达式以 105 为周期并增加常数：D(N+105)=D(N)+2D(N+105)=D(N)+2。直接有限检验 69≤N≤17369\le N\le173 得到 min⁡D(N)=1\min D(N)=1。每增加 105，D 增加 2，因此对所有 N≥69N\ge69 都有 D(N)>0D(N)>0；所以任何解都满足 N<69N<69。