第3题

平面上有两个全等的正

n

边形

S

和

T

，且它们的交集是一个

2n

边形（

n \ge 3

）。将

S

的边染红、

T

的边染蓝。证明

S\cap T

的蓝色边长总和等于红色边长总和。

第 2/6 步：定义两种边界长度总和

x:=\sum_{i=1}^{n}p_i,\qquad y:=\sum_{i=1}^{n}q_i,\qquad a:=\text{the side length of }S

详细分析

设 $p_i$ 为交集边界上与 $S$ 的第 $i$ 个顶点对应的蓝边， $q_i$ 为与 $T$ 的相应顶点对应的红边。因此 $x$ 是蓝边总长， $y$ 是红边总长。交集周长为 $x+y$ ，严格小于两个原多边形的周长 $na$ 。