第3题

平面上有两个全等的正

n

边形

S

和

T

，且它们的交集是一个

2n

边形（

n \ge 3

）。将

S

的边染红、

T

的边染蓝。证明

S\cap T

的蓝色边长总和等于红色边长总和。

第 3/6 步：建立相似三角形边长关系

上一步下一步

\frac{a_i}{p_i}=h,\quad\frac{b_i}{p_i}=k,\quad\frac{c_i}{q_i}=k,\quad\frac{d_i}{q_i}=h

详细分析

设与蓝边 $p_i$ 对应的顶点三角形的另两边为 $a_i,b_i$ ，与红边 $q_i$ 对应的三角形的另两边为 $c_i,d_i$ 。交替边界上的三角形相似，故存在常数 $h,k$ 使 $a_i=hp_i$ 、 $b_i=kp_i$ ；第二族三角形方向相反，所以 $c_i=kq_i$ 、 $d_i=hq_i$ 。